测度论与革命一

作者: 引线小白-本文永久链接:http://www.limoncc.com/科普/2019-01-01-测度论与革命一/
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摘要:本文主要用革命的比喻,通俗的总结了测度论的基本问题,并且添加了我自己的一些体会。若有错误,请大家指正。
关键词: 测度论,科普,革命

一、开篇

大家好,这里用黑帮或者革命的故事,通俗讲解集合论、测度论的基本知识。帮助大家理解这门颇为难懂的数学知识。本系列的初衷,是以前在学习时的一些困惑,教科书过于冰冷与严肃,很多概念不知所云,理解学习数学最好的方法之一就是举例子,看数学书本身就是解读故事的过程,故事的精彩取决于你的理解。希望这种看数学书就像看故事书的体验,大家也能有所感受。这就是我的初衷。

初次开篇,写的还不够科普,在之后的岁月我会尽量通俗化,清晰化,故事化,大家敬请期待。也是我博客很久没有更新了,未来推进自身构建可计算知识,我准备开始写些文章,更新不定。本文主要内容,在知乎问答回答过,属于原创,请遵守版权声明。

集合是数学的基石,初等集合论是非常直观的。问题是一旦引入无限的概念,理论就开始复杂起来。在无限的影响下诞生了很多概念。下面我们就来说明一下常用的点集,我们先回顾一下下面点集的定义:

内点:$\displaystyle \exists r >0\,,U(x_0,r)=\{x \in S \mid d(x,x_0)<r\}$:某种关系下的小弟(包括他自己)

外点:$\displaystyle \forall r >0\,,U(x_0,r)=\{x \in S \mid d(x,x_0)<r\}$:所有各种关系下的小弟(包括他自己)

边界点:$\displaystyle \forall r >0\,,\mathring{U}(x_0,r)=\{x \in S-\{x_0\}\mid d(x,x_0)<r\}$:所有各种关系(不包括他自己)的小弟

此处应该有配图,稍后补上。

其中$\displaystyle S$是某一集合、 $\displaystyle x_0$是我们的点集里面点、 $\displaystyle d(x,x_0)$表示距离,这个距离是抽象的,并不一定是欧几里得距离。我们将点集的定义翻译为人话,或者一个故事情节。基于此,我们来开始我们的旅程。

二、点集の想像一

如果某国 $\displaystyle S$有一个无限人数组成的黑帮 $\displaystyle A=\{x \in R \mid x $是黑帮一成员$\} \subset S$

说 $ x$是内点:意思是说 $ x$在某种关系下所有小弟(包括他自己)是黑帮的成员。显然 $ x$自己是黑帮成员

说 $ x$是外点:意思是说 $ x$在某种关系下的所有小弟(包括他自己)都不是的黑帮成员,显然x 自己不是黑帮成员

说 $ x$是边界点:意思是说 $ x$所有各种关系下的有一部分小弟(包括他自己)都是的黑帮成员,显然 $ x$自己可能是,也可能不是黑帮成员

说 $ x$是孤立点:意思是说 $ x$在所有关系下的小弟(不包括他自己)都不是的黑帮成员,但是他自己是黑帮成员,所以孤立点这个名词:还是非常形象的。显然孤立点是边界点的成员并且是黑帮成员。

三、点集の想像二

1、可见孤立点 $\displaystyle x_0$ 是忠诚的,那么他应该是黑帮最可以信赖的人,因为他只和组织 $A$ 有关系 $\displaystyle x_0\in A$。但是关系似乎不是很好,是个独行侠。是一把利刃。但是不忠诚的话,也有可能是警方卧底。因为他和组织外有关系。

2、内点,很显然他们组织的基础。孤立点是边界点中,是黑帮成员那一部分。

3、边界点是组织要提防的争取的人。

4、外点,显然不是非常重要的。

同理:某国 $\displaystyle S$有一个有限人数组成的黑帮,上述定义也是有意义的。

四、点集の想像三

我们来继续考虑 $\displaystyle S$国的一个无限人数组成的黑帮 $\displaystyle A$
$\displaystyle x$是极限点: 意思是说 $\displaystyle x$在所有各种关系(不包括他自己)总有一个小弟是黑帮成员。 显然 $ x$ 自己可能是,也可能不是黑帮成员。

$\displaystyle x$是聚点:意思是说 $ x$在所有各种关系下有无数个小弟是黑帮成员。

五、点集の想像四

1、我们发现极限点和聚点其实是一个意思。证明请看 bady rudin 2.20定理。还有一些书上有附着点 $ x$的定义,是一个意思。
2、显然聚点:是带特殊关系的黑帮成员或者是非黑帮成员。通过组织其他的人,总可以环环相扣找到他聚点。
3、如果聚点不是黑帮成员,可以设想他是某个高官。是这个黑帮的后台,但是不是黑帮成员,但是通过组织其他的人,总可以环环相扣找到他。
4、如果聚点是黑帮成员,可以想想,他混的不错,是个能人

六、点集の想像五

如果某国 $\displaystyle S$有一个有限人数组成的黑帮 B
我们可以发现,黑帮 $\displaystyle B$中没有极限点。证明请看baby rudin 2.20定理。

七、点集の想像六

显然我们思考有限和无限时,内、边、外和孤是可以的。对于无限,还有聚点的概念。而且有 Weierstrass Theorem魏尔斯特拉斯聚点定理:

$\displaystyle \Bbb{R}^n$中每个有界无限子集在 $\displaystyle \Bbb{R}^n$中有聚点。

换句话说,

每个黑帮都有一个强大的高官后台或者内部的能人。这就是神秘无限世界的一瞥。


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予汝玫瑰,渡人沃土。