弱收敛与连续定理——百年大数定律系列02

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本文主要阐述特征函数的连续定理。为了清晰说明这个问题，需要引入弱收敛的概念。为什么不用收敛概念，而是使用弱收敛。下面的例子能说明问题：

一、弱收敛

1.1、引例

有分布函数列 ${F_{n} (x)}$

$\begin{array}{r} (1) & F_{n} (x) = {\begin{cases} 0, x < - \frac{1}{n} \\ 1, x ⩾ - \frac{1}{n} \end{cases} \end{array}$

这是一个退化分布，它可以解释为一个单位质量全部集中在 $x = - \frac{1}{n}$ 这一点的分布，当 $n \to \infty$ ，我们很自然认为分布函数列 ${F_{n} (x)}$ 应该收敛于一个单位质量全部集中在 $x = 0$ 这一点的分布函数

$\begin{array}{r} (2) & F (x) = {\begin{cases} 0, x < 0 \\ 1, x ⩾ 0 \end{cases} \end{array}$
但是 $F_{n} (0) \equiv 1$ 而 $F (0) = 0$ ，显然 $F_{n} (x) ↛ F (0)$ ，因此看来要去分布函数列在所有点都收敛到极限分布是太严格了，例中不收敛点是极限分布函数 $F (x)$ 的不连续点。

1.2、弱收敛定义

对于分布函数列 ${F_{n} (x)}$ ，如果存在一个函数 $F (x)$ ，有如下结论：
$\begin{array}{r} (3) & \forall x \in {x ∣ lim_{t \to x} F (t) = F (x)} \to lim_{n \to \infty} F_{n} (x) = F (x) \end{array}$ 则称 $F_{n} (x)$ 弱收敛于 $F (x)$ ，记为

$\begin{array}{r} (4) & F_{n} (x) \overset{W}{⟶} F (x) \end{array}$

这个结论也就是说，在 $F (x)$ 的每一个连续点上，都有 $lim_{n \to \infty} F_{n} (x) = F (x)$ 。这样得到的一个极限函数是一个有界非减函数，我们可以选得它是右连续的，但它不一定是一个分布函数。下面我们就来研究分布函数列弱收敛于一分布函数的充要条件。

1.3、引理：分布函数列在稠密集收敛，那么该函数列也弱收敛

设 ${F_{n} (x)}$ 是实变量 $x$ 的单调不减函数列， $E$ 是 $R^{1}$ 上的稠密集。如果有 $\forall x \in E \to lim_{n \to \infty} F_{n} (x) = F (x)$ ，那么

$\begin{array}{r} (5) & \forall x \in {x \in R^{1} ∣ lim_{t \to x} F (t) = F (x)} \to lim_{n \to \infty} F_{n} (x) = F (x) \end{array}$

证明

令 $A = {x \in R^{1} ∣ lim_{t \to x} F (t) = F (x)}$ ，对于任意 $x \in A$ ，取 $x_{1}, x_{2} \in E$ 使得 $x_{1} ⩽ x ⩽ x_{2}$ ，由 $F_{n} (x)$ 非减性知

$\begin{array}{r} (6) & F_{n} (x_{1}) ⩽ F_{n} (x) ⩽ F_{n} (x_{2}) \end{array}$
取极限，由收敛性有
$\begin{array}{r} (7) & F (x_{1}) ⩽ \underset{n \to \infty}{lim inf} F_{n} (x) ⩽ \underset{n \to \infty}{lim sup} F_{n} (x) ⩽ F (x_{2}) \end{array}$
因为 $x$ 是 $F (x)$ 的连续点，若令 $x_{1} \to x - 0$ ， $x_{2} \to x + 0$ ，则有

$\begin{array}{r} (8) & F (x - 0) = lim_{x_{1} \to x^{-}} F (x_{1}) ⩽ \underset{n \to \infty}{lim inf} F_{n} (x) ⩽ \underset{n \to \infty}{lim sup} F_{x} (x) ⩽ lim_{x_{2} \to x^{+}} F (x_{1}) = F (x + 0) \end{array}$
而在连续情况下，他们是相等的。从而
$\begin{array}{r} (9) & \forall x \in {x \in R^{1} ∣ lim_{t \to x} F (t) = F (x)} \to lim_{n \to \infty} F_{n} (x) = F (x) \end{array}$

这个引理实际是说：单调不减函数列在稠密集收敛，那么该函数列也弱收敛

1.4、赫利定理

1.4.1、赫利选择定理

这个定理的证明路线如下：魏尔施特拉斯聚点定理(致密定理，有界数列必有收敛子列) $\to$ 波尔查诺-魏尔施特拉斯定理+引理 $\to$ 赫利选择定理

任意的一致有界单调非减函数列 ${F_{n} (x)}$ 中必有一子序列 ${F_{n_{k}} (x)}$ 弱收敛于某一有界单调非减函数 $F (x)$ 。

证明

【1、在稠密的可数点集也就是有理数集上考虑问题】

任取 $R^{1}$ 上的一个到处稠密的可数点集 $E$ ，下面我们取有理数全体 $Q$ ，并排列为 $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{m}, \dots$ 。

由于 $F_{n} (x)$ 有界，可见序列 ${F_{n} (q_{1})}$ 是一个有界点集，由波尔查诺-魏尔施特拉斯定理 (Bolzano–Weierstrass theorem) 知道它比含有子列 ${F_{n_{1}} (q_{1})}$ 收敛于某个又穷极限，记为 $G (q_{1})$

为简洁和清晰记，令 ${F_{1, n} (q_{1})} = {F_{n_{1}} (q_{1})}$ ，于是我们把上述结论表示为

$\begin{array}{r} (10) & lim_{n \to \infty} F_{1, n} (q_{1}) = G (q_{1}) \end{array}$

【2、构造子序列】
现在我们连续使用波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，并用嵌套和对角线来考虑一系列收敛函数列
$\begin{array}{r} (11) & \dots \subset {F_{m, n} (x)} \subset {F_{m - 1, n} (x)} \subset \dots {F_{1, n} (x)} \end{array}$
我们稍微解释一下这个方法，考虑序列 ${F_{1, n} (x)}$ 和其有界性，那么存在序列 ${F_{2, n} (q_{2})}$ 收敛于某一值 $G (q_{2})$ ，这时候有下式同时成立

$\begin{array}{r} (12) & lim_{n \to \infty} F_{2, n} (q_{1}) = G (q_{1}) lim_{n \to \infty} F_{2, n} (q_{2}) = G (q_{2}) \end{array}$

继续下去就可得上述嵌套序列，且使得

$\begin{array}{r} (13) & lim_{n \to \infty} F_{m, n} (q_{k}) = G (q_{k}) k = 1, 2, \dots, m \end{array}$ 同时成立。
我们把这些序列排列一下

$\begin{matrix} F_{1, 1} (x) & F_{1, 2} (x) & F_{1, 3} (x) & \dots & F_{1, n} (x) & \dots \\ F_{2, 1} (x) & F_{2, 2} (x) & F_{2, 3} (x) & \dots & F_{2, n} (x) & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ F_{m, 1} (x) & F_{m, 2} (x) & F_{m, 3} (x) & \dots & F_{m, n} (x) & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}$

这里的每一行都是前一行的子序列，而且都有性质 $lim_{n \to \infty} F_{m, n} (q_{k}) = G (q_{k})$ 。

【3、取对角线构造新序列】
选取对角线元素构成新的序列 ${F_{n, n} (x)}$ ：那么我们有
1、 ${F_{n, n} (x)}_{n = 1}^{\infty} \subset {F_{1, n} (x)} \to lim_{n \to \infty} F_{m, n} (q_{1}) = G (q_{1})$
2、 ${F_{n, n} (x)}_{n = 2}^{\infty} \subset {F_{2, n} (x)} \to lim_{n \to \infty} F_{m, n} (q_{2}) = G (q_{2})$
继续舍弃前k个元素，有
$\begin{array}{r} (14) & \forall k \in Q {F_{n, n} (x)}_{n = k}^{\infty} \subset {F_{2, n} (x)} \to lim_{n \to \infty} F_{m, n} (q_{k}) = G (q_{k}) \end{array}$

【4、构造实数集上的函数】
现在 $G (q)$ 是定义在有理数集上的函数，是有界和非减的。对于任意 $x \in R^{1}$ 定义

$\begin{array}{r} (15) & F (x) = sup_{q_{k} ⩽ x} G (q_{k}) \end{array}$
函数 $F (x)$ 在有理数集上与 $G (x)$ 相等，也是有界和非减的。这样我们有序列 $x$ ${F_{n, n} (x)}$ 在有理数集上收敛到 $F (x)$ ，根据引理有，对于 $F (x)$ 的一切连续点，也有

$\begin{array}{r} (16) & lim_{n \to \infty} F_{n, n} (x) = F (x) \end{array}$
这就证明了结论。

极限函数不一定右连续，我们这样修正，令 $A = {x \in∣ lim_{t \to x} F (t) = F (x)}$

$\begin{array}{r} (17) & F (x) := {\begin{cases} F (x) & x \in A \\ lim_{t \to x^{+}} F (t) & x \notin A \end{cases} \end{array}$

若函数列是分布函数，显然有 $0 ⩽ F (x) ⩽ 1$ .

1.4.2、赫利第二定理

若 $f (x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，又 ${F_{n} (x)}$ 是在 $[a, b]$ 上弱收敛于函数 $F (x)$ 的一致有界非减函数列，且 $a$ 和 $b$ 是 $F (x)$ 的连续点，则

$\begin{array}{r} (18) & lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) d F_{n} (x) = \int_{a}^{b} f (x) d F (x) \end{array}$

证明

【1、建立第一个不等式】
我们把区间分解 $⋃_{i = 1}^{N} [x_{i - 1}, x_{i}] = [a, b]$ 其中 $x_{0} = a, x_{N} = b$ ，由函数 $f (x)$ 的连续性知

$\begin{array}{r} (19) & \forall ε > 0 \to \exists x \in [x_{k}, x_{k + 1}] \to | f (x) - f (x_{k}) | < ε \end{array}$ 利用这个情况，我们构建一个辅助函数 $f_{ε} (x)$ ，它只取有限个值，且当 $x_{k} < x < x_{k + 1}$ 时， $f_{ε} (x) = f (x_{k})$ 。这样我们可以显然发现对 $\forall x \in [a, b]$ ，有不等式

$\begin{array}{r} (20) & | f (x) - f_{ε} (x) | < ε \end{array}$

【2、建立第二个不等式】
现在我们将注意转移到 $F (x)$ 上，我们可以选取点 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N - 1}} \subset {x \in [a, b] ∣ lim_{t \to x} F (t) = F (x)}$ ，即 $F (x)$ 上的连续点。因为 $F_{n} (x) \overset{W}{⟶} F (x)$ ，故当 $n$ 充分大时，在此 $N - 1$ 个分点以及 $x_{0}, x_{N}$ 上有如下不等式成立

$\begin{array}{r} (21) & | F (x_{k}) - F_{n} (x_{k}) | < \frac{ε}{M N} \end{array}$
其中 $M = max_{x \in [a, b]} | f (x) |$ ，其中选择 $\frac{ε}{M N}$ 作为任意小似乎有点突兀，这在后面将会清晰

【3、分解证明结论的不等式】
接下来，我们有

$\begin{aligned} (22) & | \int_{a}^{b} f (x) d F (x) - \int_{a}^{b} f (x) d F_{n} (x) | \\ (23) & ⩽ & | \int_{a}^{b} f (x) d F (x) - \int_{a}^{b} f_{ε} (x) d F (x) | + | \int_{a}^{b} f_{ε} d F (x) - \int_{a}^{b} f_{ε} (x) d F_{n} (x) | + | \int_{a}^{b} f_{ε} (x) d F_{n} (x) - \int_{a}^{b} f (x) d F_{n} (x) | \end{aligned}$

【4、分别考察不等式】
下面来分别考察，由建立的第一个不等式和积分的性质知
$\begin{array}{r} (24) & | \int_{a}^{b} f (x) d F (x) - \int_{a}^{b} f_{ε} (x) d F (x) | ⩽ ε [F (b) - F (a)] \end{array}$

$\begin{array}{r} (25) & | \int_{a}^{b} f_{ε} d F (x) - \int_{a}^{b} f_{ε} (x) d F_{n} (x) | ⩽ ε [F_{n} (b) - F_{n} (a)] \end{array}$

由建立的第一、二个不等式和积分的性质知
$\begin{aligned} (26) & | \int_{a}^{b} f_{ε} (x) d F_{n} (x) - \int_{a}^{b} f (x) d F_{n} (x) | \\ (27) & = & | \sum_{k = 0}^{N - 1} f (x_{k}) [F (x_{k + 1}) - F (x_{k})] - \sum_{k = 0}^{N - 1} f (x_{k}) [F_{n} (x_{k + 1}) - F_{n} (x_{k})] | \\ (28) & = & | \sum_{k = 0}^{N - 1} f (x_{k}) [F (x_{k + 1}) - F_{n} (x_{k + 1})] + \sum_{k = 0}^{N - 1} f (x_{k}) [F (x_{k}) - F_{n} (x_{k})] | \\ (29) & ⩽ & N [M \frac{ε}{M N} + M \frac{ε}{M N}] \\ (30) & = & 2 ε \end{aligned}$

【5、综合这些不等式】

$\begin{aligned} (31) & | \int_{a}^{b} f (x) d F (x) - \int_{a}^{b} f (x) d F_{n} (x) | ⩽ ε [F (b) - F (a)] + ⩽ ε [F_{n} (b) - F_{n} (a)] + 2 ε \end{aligned}$

同时由于 ${F_{n} (x)}$ 的一致有界性，上式右边可以任意小，故而得证。

1.4.3、拓广的赫利第二定理

若 $f (x)$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的有界连续函数，同时 ${F_{n} (x)}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上弱收敛于函数 $F (x)$ 的一致有界非减函数列，且 $lim_{n \to \infty} F_{n} (- \infty) = F (- \infty)$ ， $lim_{n \to \infty} F_{n} (+ \infty) = F (+ \infty)$ ，则

$\begin{array}{r} (32) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d F_{n} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d F (x) \end{array}$

证明

令 $a < 0, b > 0$ ，考察如下式子

$\begin{aligned} (33) & J_{1} & = | \int_{- \infty}^{a} f (x) d F_{n} (x) - \int_{- \infty}^{a} f (x) d F (x) | \\ (34) & J_{2} & = | \int_{a}^{b} f (x) d F_{n} (x) - \int_{a}^{b} f (x) d F (x) | \\ (35) & J_{3} & = | \int_{b}^{+ \infty} f (x) d F_{n} (x) - \int_{b}^{+ \infty} f (x) d F (x) | \end{aligned}$

显然有

$\begin{array}{r} (36) & | \int_{a}^{b} f (x) d F (x) - \int_{a}^{b} f (x) d F_{n} (x) | ⩽ J_{1} + J_{2} + J_{3} \end{array}$

对于 $J_{2}$ ，根据定理二可知，只要 $n$ 充分大， $J_{2}$ 可以任意小。

对于 $J_{1}, J_{3}$ 由于 $f (x)$ 有界，故有一参数 $M$ 使得 $| f (x) | < M$ ，同时函数列 ${F_{n} (x)}$ 一致有界，取充分大的 $| a |, | b |$ ，且让它们是 $F (x)$ 的连续点， $n$ 充分大时， $J_{1}, J_{3}$ 可以任意小。具体说来就是:

$\begin{aligned} (37) & J_{1} & ⩽ M [F_{n} (a) - F_{n} (- \infty) + F (a) - F (- \infty)] \\ (38) & J_{3} & ⩽ M [F_{n} (+ \infty) - F_{n} (b) + F (+ \infty) - F (b)] \end{aligned}$

考虑函数列的若收敛性质 $F_{n} (x) \overset{W}{⟶} F (x)$ ，且有条件
$\begin{aligned} (39) & lim_{n \to \infty} F_{n} (- \infty) = F (- \infty) & lim_{n \to \infty} F_{n} (+ \infty) = F (+ \infty) \\ (40) & lim_{n \to \infty} F_{n} (a) = F (a) & lim_{n \to \infty} F_{n} (b) = F (b) \end{aligned}$
当 $| a |, | b | \to \infty$ ，有 $lim_{a \to - \infty} F (a) = F (- \infty)$ ， $lim_{b \to + \infty} F (a) = F (+ \infty)$ ，所以 $J_{1}, J_{3}$ 可以任意小。

于是定理得证。

1.4.4、评述

赫利选择定理：任意分布函数列必有子列弱收敛于单调不减右连续函数

赫利第二定理：分布函数列弱收敛于一分布函数，那么其特征函数列收敛到该分布的特征函数，且收敛在每个有穷区间上一致。

二、连续性定理

分布函数列弱收敛于某分布函数 $⟺$ 其特征函数列收敛于某连续函数。且这个函数是收敛分布函数的特征函数，有穷闭区间上一致收敛。简记为

$\begin{array}{r} (41) & F_{n} (x) \overset{W}{⟶} F (x) ⟺ φ_{n} (t) \to φ (t) \end{array}$

2.1、正极限定理

若分布函数列 ${F_{n} (x)}$ 弱收敛于某分布函数 $F (x)$ ，那么相应的特征函数列 ${φ_{n} (t)}$ 收敛于某连续函数 $φ (t)$ ，且 $φ (t)$ 是 $F (x)$ 的特征函数，在 $t$ 的每个有限闭区间内一致收敛。简记为

$\begin{array}{r} (42) & F_{n} (x) \overset{W}{⟶} F (x) ⟹ φ_{n} (t) \to φ (t) \end{array}$

证明

由特征函数定义知道 $e^{i t x}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上有界连续，且有

$\begin{array}{r} (43) & φ_{n} (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t x} d F_{n} (x) φ (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t x} d F (x) \end{array}$

由拓广的赫利第二定理知道 $n \to \infty$ 时，有

$\begin{array}{r} (44) & φ_{n} (t) \to φ (t) \end{array}$

由赫利第二定理的证明即可看出， $φ (t)$ 在 $t$ 的每个有限闭区间内一致收敛。 $φ (t)$ 作为特征函数显然是连续的。

这就证明了结论

2.2、逆极限定理

若分布函数列 ${F_{n} (x)}$ 的特征函数列 ${φ_{n} (t)}$ 收敛于某连续函数 $φ (t)$ ，那么分布函数列 ${F_{n} (x)}$ 弱收敛于某分布函数 $F (x)$ ，且其中 $φ (t)$ 是 $F (x)$ 的特征函数。简记为

$\begin{array}{r} (45) & φ_{n} (t) \to φ (t) ⟹ F_{n} (x) \overset{W}{⟶} F (x) \end{array}$

证明

【1、存在收敛函数】
由赫利选择定理知道，分布函数列 ${F_{n} (x)}$ 存在一个子列 ${F_{n_{k}} (x)}$ 弱收敛于某个单调不减右连续函数 $F (x)$ ， $0 ⩽ F (x) ⩽ 1$ 。

【2、证明收敛函数是分布函数】
由上述条件，要证明 $F (x)$ 是分布函数，只需证明

$\begin{array}{r} (46) & F (- \infty) = 0 F (+ \infty) = 1 \end{array}$

由于 $0 ⩽ F (x) ⩽ 1$ ，于是 $0 ⩽ F (- \infty) ⩽ 1, 0 ⩽ F (+ \infty) ⩽ 1$ ，加上单调不减知道，只需证明

$\begin{array}{r} (47) & F (+ \infty) - F (- \infty) = 1 \end{array}$

【2.1、用反正证明，同时巧妙构建不等式】
$F (x)$ 是分布函数，则 $F (+ \infty) - F (- \infty) = 1$ ，考虑反面令

$\begin{array}{r} (48) & a = F (+ \infty) - F (- \infty) < 1 \end{array}$

由于 $φ (0) = lim_{n \to \infty} φ_{n} (0) = 1$ ，且 $φ (t)$ 连续，有

$\begin{array}{r} (49) & lim_{τ \to 0^{+}} \frac{1}{2 τ} | \int_{- τ}^{+ τ} φ (t) d t | = φ (0) = 1 \end{array}$

由极限定义有，对于任意的 $0 < ε < 1 - a (a + ε < 1)$ ，存在充分小的正数 $τ > 0$ 使得下式成立：

$\begin{array}{r} (50) & \frac{1}{2 τ} | \int_{- τ}^{τ} φ (t) d t | > 1 - \frac{ε}{2} > a + \frac{ε}{2} \end{array}$

实际上我们是取了极限定义的左侧不等式，同时巧妙的将 $a = F (+ \infty) - F (- \infty) < 1$ 的条件植入其中，现在我们只需证明这个不等式反例即可。

【2.2、利用条件构造三个不等式证明反例】

令 $A = {x \in∣ lim_{t \to x} F (t) = F (x)}$ ，即 $F (x)$ 的连续点集合，同时知道 $F (x)$ 单调不减，那么它只有可数个不连续点。同时分布函数列 ${F_{n_{k}} (x)}$ 弱收敛于 $F (x)$ 。对于任意的 $u > 0$ ，且 $u, - u \in A$ ，选择充分大的 $n_{k}$ 时，有

$\begin{array}{r} (51) & a_{k} = F_{n_{k}} (u) - F_{n_{k}} (- u) ⩽ a + \frac{ε}{4} \end{array}$

同时易有

$\begin{aligned} (52) & | \int_{- τ}^{τ} e^{i t x} d t | & ⩽ \int_{- τ}^{τ} | e^{i t x} | d t ⩽ \int_{- τ}^{τ} d t = 2 τ \\ (53) & | \int_{- τ}^{τ} e^{i t x} d t | & ⩽ | \frac{e^{i t x}}{i x} |_{- τ}^{τ} | = 2 \frac{| \sin (τ x) |}{| x |} ⩽ \frac{2}{| x |} \end{aligned}$

【2.3、利用这三不等式引出反例】

利用刚才列出的三个不等式，考虑 $n \to \infty$ 时
$\begin{aligned} (54) & \frac{1}{2 τ} | \int_{- τ}^{τ} φ_{n_{k}} (t) d t | & = \frac{1}{2 τ} | \int_{- τ}^{τ} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t x} d F_{n_{k}} (x) d t | \\ (55) & = \frac{1}{2 τ} | \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- τ}^{τ} e^{i t x} d t d F_{n_{k}} (x) | \\ (56) & ⩽ \frac{1}{2 τ} | \int_{(- u, u]} \int_{- τ}^{τ} e^{i t x} d t d F_{n_{k}} (x) | + \frac{1}{2 τ} | \int_{R - (- u, u]} \int_{- τ}^{τ} e^{i t x} d t d F_{n_{k}} (x) | \\ (57) & ⩽ \frac{1}{2 τ} 2 τ \int_{(- u, u]} d F_{n_{k}} + \frac{1}{2 τ} \int_{R - (- u, u]} \frac{2}{| x |} d F_{n_{k}} (x) \\ (58) & ⩽ F_{n_{k}} (u) - F_{n_{k}} (- u) + \frac{1}{2 τ} \cdot \frac{2}{u} \\ (59) & = a_{k} + \frac{1}{τ u} \\ (60) & ⩽ a + \frac{ε}{2} + \frac{ε}{4} let u > \frac{4}{ε τ} \\ (61) & = a + \frac{ε}{2} \end{aligned}$

其中 $u > \frac{4}{ε τ}$ ，因为 $u, - u \in A$ 是任意的，所以一定可以选择这样的 $u$ ，进一步由控制收敛定理，有

$\begin{array}{r} (62) & \frac{1}{2 τ} \int_{- τ}^{τ} φ (t) d t = \frac{1}{2 τ} \int_{- τ}^{τ} lim_{n_{k} \to \infty} φ_{n_{k}} (t) d t = lim_{n_{k} \to \infty} \frac{1}{2 τ} \int_{- τ}^{τ} φ_{n_{k}} (t) d t \end{array}$

于是之上的不等式可以得

$\begin{array}{r} (63) & \frac{1}{2 τ} | \int_{- τ}^{τ} φ (t) d t | = lim_{n_{k} \to \infty} \frac{1}{2 τ} | \int_{- τ}^{τ} φ_{n_{k}} (t) d t | ⩽ a + \frac{ε}{2} \end{array}$

这就得出了矛盾，因而 $F (+ \infty) - F (- \infty) = 1$ ，即

$\begin{array}{r} (64) & F (- \infty) = 0 F (+ \infty) = 1 \end{array}$

这就证明了 $F (x)$ 是分布函数。

【3、证明 $φ (t)$ 是 $F (x)$ 的特征函数】

这一点，考虑分布函数子列 ${F_{n_{k}} (x)}$ 弱收敛于 $F (x)$ ，而我们刚证明 $F (x)$ 是分布函数，由正极限定理很容易得出 $φ (t)$ 是 $F (x)$ 的特征函数。

【4、证明分布函数列 ${F_{n} (x)}$ 弱收敛于 $F (x)$ 】

我们已经证明分布函数子列 ${F_{n_{k}} (x)}$ 弱收敛于 $F (x)$ 。现在假设至少存在一点 $x_{0}$ 是 $F (x)$ 的连续点，使得一子列 ${F_{n} (x_{0})}$ 不收敛于 $F (x)$ 。

由魏尔施特拉斯聚点定理知道 ${F_{n} (x_{0})}$ ，必存在一子列 ${F_{m_{k}} (x_{0})}$ 收敛于函数 $G (x_{0}) \neq F (x_{0})$ 。

考虑和极限唯一性，同时根据赫利选择定理一定可以选取 ${F_{m_{k}} (x)}$ 的子列 ${F_{m_{k l}} (x)}$ 弱收敛于 $G (x)$ ，且有 $G (x_{0}) \neq F (x_{0})$ 。

重复第二步证明，可知 $G (x)$ 是分布函数，且特征函数也是 $φ (t)$ ，由特征函数唯一性定理知 $G (x) = F (x)$ ，

这就得出了矛盾，故而分布函数列 ${F_{n} (x)}$ 弱收敛于 $F (x)$ 。

这就证明了整个结论。

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