行列式

摘要：本文意在理清行列式的基础问题。若有错误，请大家指正。
关键词: 行列式,机器学习

一、定义函数集合

$\displaystyle V=\{f\mid f$是矩阵$M_n(K)$上的数量函数$\}$

$\displaystyle V_1=\{f\mid f\in V,$且满足列线性性$\} $

$\displaystyle V_2=\{f\mid f\in V_1,$且满足列反对称性$\}$

$\displaystyle V_3=\{f:f\in V_2,$且满足规范性$\} $

容易验证， $\displaystyle V,V_1,V_2
$关于加法和数乘运算构成函数空间。

二、性质

性质1

$\displaystyle V$是 $\displaystyle K$上的 $\displaystyle n^2$元函数空间，所以有 $\displaystyle \dim(V)=\infty$

性质2

$\displaystyle \dim(V_1)=n^n$，其一组基底是 $\displaystyle f_{i_1i_2\cdots i_n}(\varepsilon_{j_1}，\varepsilon_{j_2},\cdots,\varepsilon_{j_n})=\delta_{i_1j_1}\delta_{i_2j_2}\cdots\delta_{i_nj_n}$

性质3

$\displaystyle \dim(V_2)=1，V_2=span(\det(\cdot))$，其中 $\displaystyle \det(\cdot)$为行列式函数。

性质4

$\displaystyle V_3=\{\det(\cdot)\}$

三、证明

性质2的证明

定义 $\displaystyle n^n$维空间 $\displaystyle L=\{(c_{i_1i_2\cdots i_n}):1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n \leq n \}
$

定义映射空间 $\displaystyle V_1$到 $\displaystyle L$的线性映射，从而有

$$\begin{align}
\dim(V_1)=\dim(L)=n^n
\end{align}$$

1.【H是单射】

若 $\displaystyle f，g \in V_1且H(f)=H(g)=(c_{i_1i_2\cdots i_n})$则有

$$\begin{align}
f\big(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n}\big)
=g\big(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n}\big)
=c_{i_1i_2\cdots i_n}
\end{align}$$
又
$$\begin{align}
f\big(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)
= f(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\varepsilon_i,\sum_{i=1}^n a_{i2}\varepsilon_i,\cdots,\sum_{i=1}^n a_{in}\varepsilon_i\big)
=\sum_{1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n\leq n} a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}
f\big(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n}\big)
\end{align}$$

$$\begin{align}
g\big(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\big)
= g\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\varepsilon_i,\sum_{i=1}^n a_{i2}\varepsilon_i,\cdots,\sum_{i=1}^n a_{in}\varepsilon_i\big)
=\sum_{1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n\leq n} a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}g\big(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n}\big)
\end{align}$$
所以有

$$\begin{align}
f=g
\end{align}$$

2.【H是满射】

同时任意给定 $\displaystyle (c_{i_1i_2\cdots i_n})\in L
$，定义函数

$$\begin{align}
f(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=\sum_{1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n\leq n} a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}c_{i_1i_2\cdots i_n}
\end{align}$$

可以验证 $\displaystyle f \in V_1
$ ，此时有
$$\begin{align}
H(f)=(c_{i_1i_2\cdots i_n})
\end{align}$$
所以 $\displaystyle H$是满射。根据同态映射 $\displaystyle H$我们不难找到 $\displaystyle V_2$的一组基底

性质3的证明

若 $\displaystyle f\in V_2$，由列反对称性，有

$$\begin{align}
f(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n})=
\begin{cases}0 &\exists s,t,\to i_s=i_t\\
(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}f(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)& i_1,i_2,\cdots ,i_n \textit{ pairwise unequal }
\end{cases}
\end{align}$$

其中 $\displaystyle \tau(i_1i_2\cdots i_n)$为排列 $\displaystyle i_1.i_2,\cdots,i_n$的逆序数。
所以我们有

$$\begin{align}
f(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n\textit{ pairwise unequal } }(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}f(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)
\end{align}$$
从而有

$$\begin{align}
f(A)=f(E)\cdot \det(A)
\end{align}$$

容易验证具有该表达式的函数 $\displaystyle f$属于 $\displaystyle V_2$

性质4的证明

若 $\displaystyle f\in V_3$,则有

$$\begin{align}
f(A)=f(E)\cdot \det(A)=\det(A)
\end{align}$$