作者: 引线小白-本文永久链接：httpss://www.limoncc.com/post/71f28c676a518f5f/
知识共享许可协议: 本博客采用署名-非商业-禁止演绎4.0国际许可证
本文主要阐述特征函数的连续定理。为了清晰说明这个问题，需要引入弱收敛的概念。为什么不用收敛概念，而是使用弱收敛。下面的例子能说明问题：
一、弱收敛
1.1、引例
有分布函数列 $ \{F_n(x)\}$
$$\begin{align}
F_n(x)=
\begin{cases}
0,x<- \frac{1}{n}\\
1,x\geqslant - \frac{1}{n}
\end{cases}
\end{align}$$
这是一个退化分布，它可以解释为一个单位质量全部集中在 $ x= -\frac{1}{n}$这一点的分布，当 $ n\to \infty$，我们很自然认为分布函数列 $ \{F_n(x)\}$应该收敛于一个单位质量全部集中在 $ x=0$这一点的分布函数
$$\begin{align}
F(x)=
\begin{cases}
0,x<0\\
1,x\geqslant 0
\end{cases}
\end{align}$$
但是 $ F_n(0)\equiv1$ 而 $ F(0)=0$，显然 $ F_n(x)\not\to F(0)$，因此看来要去分布函数列在所有点都收敛到极限分布是太严格了，例中不收敛点是极限分布函数 $ F(x)$的不连续点。
1.2、弱收敛定义
对于分布函数列 $ \{F_n(x)\}$，如果存在一个函数 $ F(x)$，有如下结论：
$$\begin{align}
\forall x\in \{x\mid \lim_{t\to x}F(t)=F(x)\}\to \lim_{n\to \infty}F_n(x)=F(x)
\end{align}$$则称 $ F_n(x)$弱收敛于 $ F(x)$，记为
$$\begin{align}
F_n(x)\mathop{\longrightarrow}^{\mathrm{W}}F(x)
\end{align}$$
这个结论也就是说，在 $ F(x)$的每一个连续点上，都有 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}F_n(x)=F(x)$。这样得到的一个极限函数是一个有界非减函数，我们可以选得它是右连续的，但它不一定是一个分布函数。下面我们就来研究分布函数列弱收敛于一分布函数的充要条件。
1.3、引理：分布函数列在稠密集收敛，那么该函数列也弱收敛
设 $ \{F_n(x)\}$是实变量 $ x$的单调不减函数列， $ E$是 $ \mathbb{R}^1$上的稠密集。如果有 $\displaystyle \forall x\in E\to \lim_{n\to \infty}F_n(x)=F(x)$，那么
$$\begin{align}
\forall x\in \{x\in \mathbb{R}^1\mid \lim_{t\to x}F(t)=F(x)\}\to \lim_{n\to \infty}F_n(x)=F(x)
\end{align}$$
证明
令 $ A=\{x\in \mathbb{R}^1\mid \lim_{t\to x}F(t)=F(x)\}$，对于任意 $ x\in A$， 取 $ x_1,x_2\in E$使得 $ x_1\leqslant x\leqslant x_2$，由 $ F_n(x)$非减性知
$$\begin{align}
F_n(x_1)\leqslant F_n(x)\leqslant F_n(x_2)
\end{align}$$
取极限，由收敛性有
$$\begin{align}
F(x_1)\leqslant \liminf_{n\to \infty}F_n(x)\leqslant \limsup_{n\to \infty}F_n(x)\leqslant F(x_2)
\end{align}$$
因为 $ x$是 $ F(x)$的连续点，若令 $ x_1\to x-0$， $ x_2\to x+0$，则有
$$\begin{align}
F(x-0)=\lim_{x_1\to x^-}F(x_1)\leqslant \liminf_{n\to \infty}F_n(x)\leqslant \limsup_{n\to \infty}F_x(x)\leqslant \lim_{x_2\to x^+}F(x_1)=F(x+0)
\end{align}$$
而在连续情况下，他们是相等的。从而
$$\begin{align}
\forall x\in \{x\in \mathbb{R}^1\mid \lim_{t\to x}F(t)=F(x)\}\to \lim_{n\to \infty}F_n(x)=F(x)
\end{align}$$
这个引理实际是说：单调不减函数列在稠密集收敛，那么该函数列也弱收敛
1.4、赫利定理
1.4.1、赫利选择定理
这个定理的证明路线如下：魏尔施特拉斯聚点定理(致密定理，有界数列必有收敛子列) $ \to$波尔查诺-魏尔施特拉斯定理+引理 $ \to$赫利选择定理
任意的一致有界单调非减函数列 $ \{F_n(x)\}$中必有一子序列 $ \{F_{n_k}(x)\}$弱收敛于某一有界单调非减函数 $ F(x)$。
证明
【1、在稠密的可数点集也就是有理数集上考虑问题】
任取 $ \mathbb{R}^1$上的一个到处稠密的可数点集 $ E$，下面我们取有理数全体 $ \mathbb{Q}$，并排列为 $ q_1,q_2,\cdots,q_m,\cdots$。
由于 $ F_n(x)$有界，可见序列 $ \{F_n(q_1)\}$是一个有界点集，由波尔查诺-魏尔施特拉斯定理 (Bolzano–Weierstrass theorem) 知道它比含有子列 $ \{F_{n_1}(q_1)\}$收敛于某个又穷极限，记为 $ G(q_1)$
为简洁和清晰记，令 $ \{F_{1,n}(q_1)\}= \{F_{n_1}(q_1)\}$，于是我们把上述结论表示为
$$\begin{align}
\lim_{n\to \infty}F_{1,n}(q_1)=G(q_1)
\end{align}$$
【2、构造子序列】
现在我们连续使用波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，并用嵌套和对角线来考虑一系列收敛函数列
$$\begin{align}
\cdots\subset\{F_{m,n}(x)\}\subset \{F_{m-1,n}(x)\}\subset\cdots \{F_{1,n}(x)\}
\end{align}$$
我们稍微解释一下这个方法，考虑序列 $ \{F_{1,n}(x)\}$和其有界性，那么存在序列 $ \{F_{2,n}(q_2)\}$收敛于某一值 $ G(q_2)$，这时候有下式同时成立
$$\begin{align}
\lim_{n\to \infty}F_{2,n}(q_1)=G(q_1)\quad\lim_{n\to \infty}F_{2,n}(q_2)=G(q_2)
\end{align}$$
继续下去就可得上述嵌套序列，且使得
$$\begin{align}
\lim_{n\to \infty} F_{m,n}(q_k)=G(q_k)\quad k=1,2,\cdots,m
\end{align}$$同时成立。
我们把这些序列排列一下
$$\begin{matrix}
F_{1,1}(x)& F_{1,2}(x)&F_{1,3}(x)&\cdots & F_{1,n}(x)&\cdots\\
F_{2,1}(x)& F_{2,2}(x)&F_{2,3}(x)&\cdots & F_{2,n}(x)&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
F_{m,1}(x)& F_{m,2}(x)&F_{m,3}(x)&\cdots & F_{m,n}(x)&\cdots\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots
\end{matrix}$$
这里的每一行都是前一行的子序列，而且都有性质 $\lim_{n\to \infty} F_{m,n}(q_k)=G(q_k)$。
【3、取对角线构造新序列】
选取对角线元素构成新的序列 $ \{F_{n,n}(x)\}$：那么我们有
1、 $\displaystyle \{F_{n,n}(x)\}_{n=1}^\infty\subset \{F_{1,n}(x)\}\to \lim_{n\to \infty} F_{m,n}(q_1)=G(q_1)$
2、 $\displaystyle \{F_{n,n}(x)\}_{n=2}^\infty\subset \{F_{2,n}(x)\}\to \lim_{n\to \infty} F_{m,n}(q_2)=G(q_2)$
继续舍弃前k个元素，有
$$\begin{align}
\forall k\in \mathbb{Q} \{F_{n,n}(x)\}_{n=k}^\infty\subset \{F_{2,n}(x)\}\to \lim_{n\to \infty} F_{m,n}(q_k)=G(q_k)
\end{align}$$
【4、构造实数集上的函数】
现在 $ G(q)$是定义在有理数集上的函数，是有界和非减的。对于任意 $ x\in \mathbb{R}^1$定义
$$\begin{align}
F(x)=\sup_{q_k\leqslant x}G(q_k)
\end{align}$$
函数 $ F(x)$在有理数集上与 $ G(x)$相等，也是有界和非减的。这样我们有序列 $ x$$ \{F_{n,n}(x)\}$在有理数集上收敛到 $ F(x)$，根据引理有，对于 $ F(x)$的一切连续点，也有
$$\begin{align}
\lim_{n\to \infty}F_{n,n}(x)=F(x)
\end{align}$$
这就证明了结论。
极限函数不一定右连续，我们这样修正，令 $ A=\{x\in\mid \lim_{t\to x}F(t)=F(x)\}$
$$\begin{align}
F(x):=
\begin{cases}
\displaystyle F(x)&x\in A\\
\\
\displaystyle\lim_{t\to x^+}F(t)&x\notin A
\end{cases}
\end{align}$$
若函数列是分布函数，显然有 $ 0\leqslant F(x)\leqslant 1$.
1.4.2、赫利第二定理
若 $ f(x)$是 $ [a,b]$上的连续函数，又 $ \{F_n(x)\}$是在 $ [a,b]$上弱收敛于函数 $ F(x)$的一致有界非减函数列，且 $ a$和 $ b$是 $ F(x)$的连续点，则
$$\begin{align}
\lim_{n\to \infty}\int_a^b f(x)dF_n(x)=\int_a^bf(x)dF(x)
\end{align}$$
证明
【1、建立第一个不等式】
我们把区间分解 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^N\big[x_{i-1},x_i\big]=\big[a,b\big]$其中 $ x_0=a,x_N=b$，由函数 $ f(x)$的连续性知
$$\begin{align}
\forall \varepsilon>0\to \exists x\in [x_k,x_{k+1}]\to \big|f(x)-f(x_k)\big|< \varepsilon
\end{align}$$利用这个情况，我们构建一个辅助函数 $ f_\varepsilon(x)$，它只取有限个值，且当 $x_k<x<x_{k+1}$时， $ f_\varepsilon(x)=f(x_k)$。这样我们可以显然发现对 $ \forall x\in [a,b]$，有不等式
$$\begin{align}
\big|f(x)-f_\varepsilon(x)\big|< \varepsilon
\end{align}$$
【2、建立第二个不等式】
现在我们将注意转移到 $ F(x)$上，我们可以选取点 $\{x_1,x_2,\cdots,x_{N-1}\}\subset \{x\in [a,b]\mid \lim_{t\to x}F(t)=F(x)\}$，即 $ F(x)$上的连续点。因为 $\displaystyle F_n(x)\mathop{\longrightarrow}^{\mathrm{W}}F(x)$，故当 $ n$充分大时，在此 $ N-1$个分点以及 $ x_0,x_N$上有如下不等式成立
$$\begin{align}
\big|F(x_k)-F_n(x_k)\big|< \frac{\varepsilon}{MN}
\end{align}$$
其中 $ M=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|$，其中选择 $ \frac{\varepsilon}{MN}$作为任意小似乎有点突兀，这在后面将会清晰
【3、分解证明结论的不等式】
接下来，我们有
$$\begin{align}
&\bigg|\int_a^bf(x)dF(x)-\int_a^bf(x)dF_n(x)\bigg|\\
\leqslant &\bigg|\int_a^bf(x)dF(x)-\int_a^bf_\varepsilon(x)dF(x)\bigg|+\bigg|\int_a^bf_\varepsilon dF(x)-\int_a^bf_\varepsilon(x)dF_n(x)\bigg|+\bigg|\int_a^bf_\varepsilon(x)dF_n(x)-\int_a^bf(x)dF_n(x)\bigg|
\end{align}$$
【4、分别考察不等式】
下面来分别考察，由建立的第一个不等式和积分的性质知
$$\begin{align}
\bigg|\int_a^bf(x)dF(x)-\int_a^bf_\varepsilon(x)dF(x)\bigg|
\leqslant \varepsilon\big[F(b)-F(a)\big]
\end{align}$$
$$\begin{align}
\bigg|\int_a^bf_\varepsilon dF(x)-\int_a^bf_\varepsilon(x)dF_n(x)\bigg|
\leqslant \varepsilon\big[F_n(b)-F_n(a)\big]
\end{align}$$
由建立的第一、二个不等式和积分的性质知
$$\begin{align}
&\bigg|\int_a^bf_\varepsilon(x)dF_n(x)-\int_a^bf(x)dF_n(x)\bigg|\\
=&\Bigg|\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)\big[F(x_{k+1})-F(x_k)\big]-\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)\big[F_n(x_{k+1})-F_n(x_k)\big]\Bigg|\\
=&\Bigg|\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)\big[F(x_{k+1})-F_n(x_{k+1})\big]+\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)\big[F(x_{k})-F_n(x_k)\big]\Bigg|\\
\leqslant &N\bigg[M \frac{\varepsilon}{MN}+M \frac{\varepsilon}{MN}\bigg]\\
=& 2 \varepsilon
\end{align}$$
【5、综合这些不等式】
$$\begin{align}
&\bigg|\int_a^bf(x)dF(x)-\int_a^bf(x)dF_n(x)\bigg|
\leqslant \varepsilon\big[F(b)-F(a)\big]+\leqslant \varepsilon\big[F_n(b)-F_n(a)\big]+2 \varepsilon
\end{align}$$
同时由于 $ \{F_n(x)\}$的一致有界性，上式右边可以任意小，故而得证。
1.4.3、拓广的赫利第二定理
若 $ f(x)$是 $ (-\infty,+\infty)$上的有界连续函数，同时 $ \{F_n(x)\}$是 $ (-\infty,+\infty)$上弱收敛于函数 $ F(x)$的一致有界非减函数列，且 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}F_n(-\infty)=F(-\infty)$， $\displaystyle \lim_{n\to \infty}F_n(+\infty)=F(+\infty)$，则
$$\begin{align}
\lim_{n\to \infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dF_n(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dF(x)
\end{align}$$
证明
令 $ a<0,b>0$，考察如下式子
$$\begin{align}
J_1&=\bigg|\int_{-\infty}^af(x)dF_n(x)-\int_{-\infty}^af(x)dF(x)\bigg|\\
J_2&=\bigg|\int_a^bf(x)dF_n(x)-\int_a^bf(x)dF(x)\bigg|\\
J_3&=\bigg|\int_b^{+\infty}f(x)dF_n(x)-\int_b^{+\infty}f(x)dF(x)\bigg|
\end{align}$$
显然有
$$\begin{align}
\bigg|\int_a^bf(x)dF(x)-\int_a^bf(x)dF_n(x)\bigg|\leqslant J_1+J_2+J_3
\end{align}$$
对于 $ J_2$，根据定理二可知，只要 $ n$充分大， $ J_2$可以任意小。
对于 $ J_1,J_3$由于 $ f(x)$有界，故有一参数 $ M$使得 $ |f(x)|<M$，同时函数列 $ \{F_n(x)\}$一致有界，取充分大的 $ |a|,|b|$，且让它们是 $ F(x)$的连续点，$ n$充分大时，$ J_1,J_3$可以任意小。具体说来就是:
$$\begin{align}
J_1&\leqslant M\big[F_n(a)-F_n(-\infty)+F(a)-F(-\infty)\big]\\
J_3&\leqslant M\big[F_n(+\infty)-F_n(b)+F(+\infty)-F(b)\big]
\end{align}$$
考虑函数列的若收敛性质 $\displaystyle F_n(x)\mathop{\longrightarrow}^{\mathrm{W}}F(x)$，且有条件
$$\begin{align}
&\lim_{n\to \infty}F_n(-\infty)=F(-\infty)\quad &\displaystyle \lim_{n\to \infty}F_n(+\infty)=F(+\infty)\\
&\lim_{n\to \infty}F_n(a)=F(a)\quad &\displaystyle \lim_{n\to \infty}F_n(b)=F(b)
\end{align}$$
当 $ |a|,|b|\to \infty$，有 $\displaystyle \lim_{a\to -\infty}F(a)=F(-\infty)$，$\displaystyle \lim_{b\to +\infty}F(a)=F(+\infty)$，所以 $ J_1,J_3$可以任意小。
于是定理得证。
1.4.4、评述
赫利选择定理：任意分布函数列必有子列弱收敛于单调不减右连续函数
赫利第二定理：分布函数列弱收敛于一分布函数，那么其特征函数列收敛到该分布的特征函数，且收敛在每个有穷区间上一致。
二、连续性定理
分布函数列弱收敛于某分布函数 $ \iff$ 其特征函数列收敛于某连续函数。且这个函数是收敛分布函数的特征函数，有穷闭区间上一致收敛。简记为
$$\begin{align}
F_n(x)\mathop{\longrightarrow}^{\mathrm{W}}F(x)\iff \varphi_n(t)\to \varphi(t)
\end{align}$$
2.1、正极限定理
若分布函数列 $ \{F_n(x)\}$弱收敛于某分布函数 $ F(x)$，那么相应的特征函数列 $ \{\varphi_n(t)\}$收敛于某连续函数 $ \varphi(t)$，且 $ \varphi(t)$是 $ F(x)$的特征函数，在 $ t$的每个有限闭区间内一致收敛。简记为
$$\begin{align}
F_n(x)\mathop{\longrightarrow}^{\mathrm{W}}F(x)\Longrightarrow \varphi_n(t)\to \varphi(t)
\end{align}$$
证明
由特征函数定义知道 $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}$在 $ (-\infty,+\infty)$上有界连续，且有
$$\begin{align}
\varphi_n(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dF_n(x)\quad \varphi(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dF(x)\
\end{align}$$
由拓广的赫利第二定理知道 $ n\to \infty$时，有
$$\begin{align}
\varphi_n(t)\to \varphi(t)
\end{align}$$
由赫利第二定理的证明即可看出， $ \varphi(t)$在 $ t$的每个有限闭区间内一致收敛。 $ \varphi(t)$作为特征函数显然是连续的。
这就证明了结论
2.2、逆极限定理
若分布函数列 $ \{F_n(x)\}$的特征函数列 $ \{\varphi_n(t)\}$收敛于某连续函数 $ \varphi(t)$，那么分布函数列 $ \{F_n(x)\}$弱收敛于某分布函数 $ F(x)$，且其中 $ \varphi(t)$是 $ F(x)$的特征函数。简记为
$$\begin{align}
\varphi_n(t)\to \varphi(t) \Longrightarrow F_n(x)\mathop{\longrightarrow}^{\mathrm{W}}F(x)
\end{align}$$
证明
【1、存在收敛函数】
由赫利选择定理知道，分布函数列 $ \{F_n(x)\}$存在一个子列 $ \{F_{n_k}(x)\}$弱收敛于某个单调不减右连续函数 $ F(x)$， $ 0\leqslant F(x)\leqslant 1$。
【2、证明收敛函数是分布函数】
由上述条件，要证明 $ F(x)$是分布函数，只需证明
$$\begin{align}
F(-\infty)=0\quad F(+\infty)=1
\end{align}$$
由于 $ 0\leqslant F(x)\leqslant 1$，于是 $ 0\leqslant F(-\infty)\leqslant 1, 0\leqslant F(+\infty)\leqslant 1$，加上单调不减知道，只需证明
$$\begin{align}
F(+\infty)- F(-\infty)=1
\end{align}$$
【2.1、用反正证明，同时巧妙构建不等式】
$ F(x)$是分布函数，则 $ F(+\infty)- F(-\infty)=1$，考虑反面令
$$\begin{align}
a= F(+\infty)- F(-\infty)<1
\end{align}$$
由于 $\displaystyle \varphi(0)=\lim_{n\to \infty}\varphi_n(0)=1$，且 $ \varphi(t)$连续，有
$$\begin{align}
\lim_{\tau\to 0^+} \frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{-\tau}^{+\tau}\varphi(t)dt\bigg|=\varphi(0)=1
\end{align}$$
由极限定义有，对于任意的 $ 0<\varepsilon<1-a(a+\varepsilon<1)$，存在充分小的正数 $ \tau>0$使得下式成立：
$$\begin{align}
\frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{-\tau}^{\tau}\varphi(t)dt\bigg|>1- \frac{\varepsilon}{2}>a+\frac{\varepsilon}{2}
\end{align}$$
实际上我们是取了极限定义的左侧不等式，同时巧妙的将 $ a= F(+\infty)- F(-\infty)<1$的条件植入其中，现在我们只需证明这个不等式反例即可。
【2.2、利用条件构造三个不等式证明反例】
令 $ A=\{x\in \mid \lim_{t\to x}F(t)=F(x)\}$，即 $ F(x)$的连续点集合，同时知道 $ F(x)$单调不减，那么它只有可数个不连续点。 同时分布函数列 $ \{F_{n_k}(x)\}$弱收敛于$ F(x)$。对于任意的 $ u>0$，且 $ u,-u\in A$，选择充分大的 $ n_k$时，有
$$\begin{align}
a_k=F_{n_k}(u)-F_{n_k}(-u)\leqslant a+\frac{\varepsilon}{4}
\end{align}$$
同时易有
$$\begin{align}
\bigg|\int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dt\bigg|
&\leqslant \int_{-\tau}^{\tau}\big|\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}\big|dt
\leqslant \int_{-\tau}^{\tau}dt=2\tau\\
\bigg|\int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dt\bigg|
&\leqslant \bigg|\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}}{\mathrm{i}x}\big|_{-\tau}^{\tau}\bigg|=2\frac{|\sin(\tau x)|}{|x|}\leqslant \frac{2}{|x|}
\end{align}$$
【2.3、利用这三不等式引出反例】
利用刚才列出的三个不等式，考虑 $ n\to \infty$时
$$\begin{align}
\frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{-\tau}^{\tau}\varphi_{n_k}(t)dt\bigg|
&=\frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{-\tau}^{\tau}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dF_{n_k}(x)dt\bigg|\\
&=\frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dtdF_{n_k}(x)\bigg|\\
&\leqslant \frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{(-u,u]} \int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dtdF_{n_k}(x)\bigg|+\frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{\mathbb{R}-(-u,u]} \int_{-\tau}^{\tau}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dtdF_{n_k}(x)\bigg|\\
&\leqslant\frac{1}{2\tau}2\tau\int_{(-u,u]}dF_{n_k}+\frac{1}{2\tau}\int_{\mathbb{R}-(-u,u]} \frac{2}{|x|}dF_{n_k}(x)\\
&\leqslant F_{n_k}(u)-F_{n_k}(-u)+ \frac{1}{2\tau} \cdot \frac{2}{u}\\
&=a_k+\frac{1}{\tau u}\\
&\leqslant a+ \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{4}\, \text{let } u>\frac{4}{\varepsilon \tau}\\
&=a+\frac{\varepsilon}{2}
\end{align}$$
其中 $ u>\frac{4}{\varepsilon \tau}$，因为 $ u,-u\in A$是任意的，所以一定可以选择这样的 $ u$，进一步由控制收敛定理，有
$$\begin{align}
\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\varphi(t)dt
=\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\lim_{n_k\to\infty}\varphi_{n_k}(t)dt
=\lim_{n_k\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{\tau}\varphi_{n_k}(t)dt
\end{align}$$
于是之上的不等式可以得
$$\begin{align}
\frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{-\tau}^{\tau}\varphi(t)dt\bigg|=\lim_{n_k\to\infty}\frac{1}{2\tau}\bigg|\int_{-\tau}^{\tau}\varphi_{n_k}(t)dt\bigg|\leqslant a+ \frac{\varepsilon}{2}
\end{align}$$
这就得出了矛盾，因而 $ F(+\infty)- F(-\infty)=1$，即
$$\begin{align}
F(-\infty)=0\quad F(+\infty)=1
\end{align}$$
这就证明了 $ F(x)$是分布函数。
【3、 证明 $\varphi(t)$是 $ F(x)$的特征函数】
这一点，考虑分布函数子列 $\{F_{n_k}(x)\}$弱收敛于 $ F(x)$，而我们刚证明 $F(x)$是分布函数，由正极限定理很容易得出 $ \varphi(t)$是 $ F(x)$的特征函数。
【4、证明分布函数列 $\{F_n(x)\}$弱收敛于 $ F(x)$】
我们已经证明分布函数子列 $\{F_{n_k}(x)\}$弱收敛于 $F(x)$。现在假设至少存在一点 $\displaystyle x_0$是 $F(x)$的连续点，使得一子列 $\{F_n(x_0)\}$ 不收敛于 $F(x)$。
由魏尔施特拉斯聚点定理知道 $\{F_n(x_0)\}$ ，必存在一子列 $\{F_{m_k}(x_0)\}$收敛于函数 $G(x_0)\neq F(x_0)$。
考虑和极限唯一性，同时根据赫利选择定理一定可以选取 $\{F_{m_k}(x)\}$的子列 $ \{F_{m_{kl}}(x)\}$弱收敛于 $G(x)$，且有 $G(x_0)\neq F(x_0)$。
重复第二步证明，可知 $ G(x)$是分布函数，且特征函数也是 $ \varphi(t)$，由特征函数唯一性定理知 $ G(x)=F(x)$，
这就得出了矛盾，故而分布函数列 $ \{F_n(x)\}$弱收敛于 $ F(x)$。
这就证明了整个结论。
| 版权声明 |  |
 | 由引线小白创作并维护的柠檬CC博客采用署名-非商业-禁止演绎4.0国际许可证。 本文首发于柠檬CC [ https://www.limoncc.com ] , 版权所有、侵权必究。 |
| 本文永久链接 | httpss://www.limoncc.com/post/71f28c676a518f5f/ |
| 如果您需要引用本文，请参考： |
| 引线小白. (Jan. 3, 2019). 《弱收敛与连续定理——百年大数定律系列02》[Blog post]. Retrieved from https://www.limoncc.com/post/71f28c676a518f5f |
| @online{limoncc-71f28c676a518f5f, title={弱收敛与连续定理——百年大数定律系列02}, author={引线小白}, year={2019}, month={Jan}, date={3}, url={\url{https://www.limoncc.com/post/71f28c676a518f5f}}, } |